“纳什均衡”与数学之美

　　

　　导读

　　数学家及诺贝尔经济学奖获得者约翰·纳什在5月23日的一次车祸中去世，享年86岁。他的妻子艾莉西亚当时与他在一起，同样也没能从车祸中幸存。纳什一家当时正从挪威返回在美国普林斯顿的家。在挪威，纳什(与Louis Nirenberg一起)被授予今年的阿贝尔奖(数学界的诺贝尔奖)。

　　前不久在车祸中不幸去世的天才数学家纳什因在博弈论中的突出贡献获得了诺贝尔奖，但纳什在数学的其他领域中也有了不起的成就。

　　感谢《美丽心灵》，由Sylvia Nasar撰写的纳什传记，以及由罗素·克劳(Russell Crowe)主演的电影版，使得纳什成为少数在学术圈以外被熟知的数学家。大众会记得纳什的精神疾病以及最后他从精神分裂症中康复过来的故事。但纳什的影响远远超过传记的好莱坞版本，他的同行将他的数学创造，尤其是非合作博弈(这使得他获得诺贝尔奖)列为20世纪最伟大的经济学想法之一。

　　非合作博弈

　　纳什在博弈论方面的工作最广为人知。一个游戏或者说博弈包含两个或以上的玩家，玩家会受到奖励或处罚，取决于所有参与者的表现。有些游戏被称为零和博弈，指的是一个玩家得到的是另一个玩家的所失去的。纳什的工作可以应用到非合作博弈中。在这种情况下，玩家可以在不影响其他玩家的前提下，可单方面地改变策略来增加(或减少)自己的收益。

　　这种游戏的典型例子是基本的囚徒困境。两个囚犯被拘捕并拘留在分开的牢房中，他们无法互相交流。执行者们没有足够的证据来证明他们有罪，但他们可以认定一个更轻的罪，从而只蹲一年牢房。囚徒们被提供了这样一个交易：做对另一个囚徒不利的声明(即背叛)即无罪释放，而另一人因此需服刑3年。然而，如果两人都背叛对方，他们将服刑2年。如果他们都没背叛对方(即他们合作了)，则两人都会获得更轻的定罪并只服刑1年。结果可以被归纳到一个结局矩阵中。

　　纳什发现任何这样的游戏都有一个策略，这一策略被称为“纳什均衡”。任何一个玩家脱离平衡点的单方面策略改变都将会导致对于该玩家更坏的结局。在囚徒困境的情形中，有两个这样的均衡点，即结局矩阵的左上角与右下角。确实，对于右下角的情况，如果任何玩家单方面地改变他的策略并决定不背叛，他将增加自己的服刑时间。这个例子特别使人烦恼，因为左上角的策略显然是适用于囚犯最好的方式(他们应保持沉默)，但纯理性的玩家会在右下角的位置结束。

　　博弈论在诸多领域有所应用，包括经济学和政治科学。国际关系中的许多方案可以作为非合作博弈的模型。比如，二战中核计划的发展可以作为类似囚徒困境的模型，其中两方都决定获得原子弹以免对方也会这样做。当然，这会导致核武器数量的大规模扩张这样一个不那么令人满意的结果，相当于两个囚徒都背叛了的情景。

　　嵌入定理

　　尽管纳什以他在博弈论上的工作为全球所熟知，但大多数数学家认为他在黎曼流形嵌入理论上的成果是最具革新意义的。在这个几何分支中， n-流形是局部可以看成n维欧式空间(我们熟悉的典型三维空间就构成一个三维欧式空间)的空间。例如，一个曲面比如球面或空心的甜甜圈，是个2-流形，因为曲面上的任意一点周围都能划出这样的一块区域：对于站在该点的小虫，这块区域就像一个二维平面(因此古人认为地球是平的)。

　　以一个流形存在一种全局一致的方法来定义某个点上与流形相切的矢量之间的夹角，这个流形就被称为黎曼流形。这使得我们可以定义流形上两点之间的距离并找到嵌在流形内曲线的长度。定义了通常的角度和距离的欧式空间就是最简单的例子。

　　现在试着想象把一个抽象的黎曼流形放到一个欧式空间中。你可能需要把它扭曲或者做各种奇怪的操作从而导致流形上切向量之间的夹角发生改变。纳什-柯伊伯嵌入定理断言我们可以解决这个问题，即我们可以找到n维黎曼流形浸入n+1维欧式空间保角的实现方法。接下来，你可以利用由欧式空间继承而来的黎曼结构更容易地计算出流形上点之间的距离。

　　这可能听起来没那么惊天动地，但这个问题已经烦恼了数学家们超过了一个世纪。研究过地图的人都知道，其所需要的欧式空间维数不能比n+1更小，比如球面就不能在不改变角度的情况下展开成一个平面。

　　纳什定理有许多反直觉的推论。比如，它指出任何二维闭曲面可以在任意小的三维球体中实现。

　　一个真正的游戏

　　纳什还发明了一个真正的游戏。这个游戏最终被帕克兄弟公司(Parker Brothers)以桌面游戏六角棋为名(Hex)推向了市场。这是个在以六边形为棋格的平行四边形棋盘上玩的游戏，大约同时，丹麦也有人独立地发明了这种游戏。在普林斯顿大学，这种游戏被称作“纳什”。另外，因为人们在数学系男洗手间的地砖上玩这种游戏，它还获得了一个双关语名字“John”。这个游戏有两个玩家，各执一种单色棋子(比如红和蓝)，目标是赶在对手之前在棋盘的一头到另一头，连成一个完整的路径。

　　这游戏有网络版。先行的玩家总有一个获胜的策略；即走第一步的玩家可以总赢，只要他执行恰当的下棋顺序。

　　(来源：环球科学)